てこの「本質」について
（本文）
１ 「てこ」の原理の本質とは何か
「てこ」の原理とは、一般に「物体にかかる力は距離に反比例する」という原理とされています。具体的には、次の図のように作用することを言います。
（図１）
【文書に図面をうまく貼付できないため、ご面倒ですが、参照図（てこ）をご参照ください。】
ここで支点O（おー）点から作用点P点までの「距離」をa、O点から力点Q点までの「距離」を、bとし、作用点に働く力をF1、力点に働く力をF2とします。
すると、おなじみのa✕F１＝b✕F２ ・・・①
となります。
ここで問題なのは、「何故そうなるか」ということです。
このページでは、この「てこの原理」の「本質」を順次解明していきます。
そして、図１に示された「てこの原理」は、物体と物体との「つりあい」の場合にも応用されます。。
具体的には、次の図のようになります。
（図２）
【文書に図面をうまく貼付できないため、ご面倒ですが、参照図（てこ）をご参照ください。】
ここでは、「人が」力を加える「力点」や、人のその力によって「作用」を生ずる「作用点」という概念がなくなります。
代わって、「重点」という概念を用いることとします。
そしここで、てこの物体Aの「質量」をW1kg、物体Bの「質量」をW2とします。
ここで、物体A、物体Bがともに「静止」しているとすれば、ここに生じる「重力」は次のようになります。
質量Aの物体AにはW1キログラム重の力（重力）が生じる。
質量Bの物体BにはW２キログラム重の力（重力）が生じる。
したがって、物体Aと物体Bとの間の「質量の関係」を、物体位Aと物体Bとの「力（重力）の関係」に変換することができます。
したがって、式①の「てこの原理」の公式を、「質量のつりあい」の公式に「変換」できます。
すると、次のような公式となります。
a✕Ｗ１＝ｂ✕Ｗ２ ・・・・②
以上、②式のようになります。
このように、①式を変換して②式を導くことまではできましたが、「何故そうなるのか？」については、依然「謎」のままです。
このページでは、この謎を順次解明していきます。
２ 「にんじん」の不思議
①式、また②式の「謎」の解明の前に、まずこの①式なり②式が、とりわけ②式が、人間の「感覚」からかなり「奇妙」なものであることを、お示ししたいと思います。
ここに、姿ぶりの良い１本の「人参」があるとします。
そしてこの「にんじん」を、図のように左右の「バランス」と取れるところ吊り下げて見ます。
（図３）
【文書に図面をうまく貼付できないため、ご面倒ですが、参照図（てこ）をご参照ください。】
そして、そのバランスの取れた場所で、その「にんじん」を「二つ」に切り分けて見ます。
そこで、この人参の、「あたま側」と「しっぽ側」とでは、いったいどちらが重いでしょうと問いかけて見ます。
すると、かなりの人が、「しっぽ側」だとか、「どちらも同じ」と答えます。
「あたま側」と正答する人は少ないのです。
このように、「人」の「感覚」にとって、この②式は、かなり「奇妙」なものなのです。
もっとも、「にんじん」は「立体」ですから、②式が単純に当てはまるものではなく、②式を元に左右のモーメントの「積分」をしなくてはなりません。
しかしその場合であっても、「考え方」については、②式とまったく共通するものがあります。
３ 「つりあい」の不思議
さて、図２と式②とにもどります。
この図２は不思議に満ちています。「実験」をすれば、式②が成り立つことが分かります。
しかし「何故」そうなるのか。このことがなかなか分かりません。
しかもこの②式は、「計量」」・「計測」の「基本中の基本」なのです。
根本的な「不思議さ」は、物体Aと物体Ｂが「空中」にあることです。
もっとも、この物体Ａも物体Ｂも、支点Ｏ点によって、支えられてはいます。
しかしそれであっても、「直接」には、この物体Ａも物体Ｂも、「空中」にあります。
そこで、「空中」から一体どんな「力」が、物体Ａや物体Ｂに生じるのだろうかと考えてしまいます。
そこで次に、支点Ｏ点から物体Ａまでの距離ａと、支点Ｏ点から物体Ｂまでの距離ｂとの関係に目が行ってしまいます。
すると次に、支点Ｏ点を中心に線分ＰＱが「回転」する時の、Ｐ点及びＱ点の「軌跡」や、Ｐ点やＱ点に生じる「加速度」の関係に目が行ってしまいます。
確かに、Ｐ点やＱ点の「軌跡」に着目すれば、Ｐ点に生じる「軌跡」の長さはａに比例し、Ｑ点に生じる「軌跡」の長さはｂに比例します。
これに「仕事」（エネルギー）の考え方を応用すれば、物体Ａによる「仕事」と物体Ｂによる「仕事」とが一致する、したがって②式が成立する、との一応の結論を出すことはできます。
しかしこれでは「証明」が「間接的」で、どうも満足ができない、と思えてしまいます。
Ｐ点及びＱ点に生じる「加速度」についてはどうだろうか。
Ｐ点及びＱ点に生じる「加速度」は、ａ及びｂに比例する、そしてこの加速度が「抵抗」となって、それぞれの「重力」と吊り合うのだろうか、とも考えてみました。結論は、「重力」と吊り合うだけの「抵抗」は生じない、ということでした。
あれこれ考えた結果が、全て「徒労」に終わりました。
その時、「奇策」はない、やはり「鉛直抗力と重力」との本質的関係を踏まえながら、この「吊り合い」の問題を解決するほかない無い、との結論に至りました。
その時初めて、はるか遠くの山の頂へとたどる道がようやく見え始めてきました。
４ 「さおの原理」と「てこの原理」
まずここで、「てこの原理」には「、第１種てこ」から「第３種てこ」まで「３とおり」の型がありますが、ここでは、その「基本」となる「第１種てこ」を中心に考察します。
「第１種てこ」とは、要するに「支点」が、「力点と作用点の間」や「重点と重点の間」にある「てこ」のことです。
さて「てこの原理」また①式・②式の分析・解明を行う中で感じたことは、この「てこの原理」の要因が「一様」ではない、ということです。
①・②式という「結論」については、ほぼ「同じ」結論となりますが、「状況」によって、その結論に至る「過程」が微妙に異なっていることが分かってきました。
「てこ」とは、要するに「一本の棒」です。
ここでは、この１本の棒を、支点で「吊るす」場合には、「さお」と表現します。
そしてまたここでは、この１本の棒を、支点に「載せる」場合を「てこ」（狭義の｛てこ｝）と表現します。
また、この「さお」を用目的」によっても区分します。
この「さお」を「計量」・「計測」用として、要するに②式として、使用する場合は、「計測さお」と表現します。
他方、この「さお」を重たいものを動かすときに使用するような場合は、「力学さお」と表現します。
同様に、「てこ」も「計測てこ」と「力学てこ」とに区分します。
この「計測さお・てこ」と「力学さお・てこ」とに「区分」する「区分の利益」は、「計測さお・てこ」が基本的に「吊り合い」（均衡）を利用するのに対し、「力学さお・てこ」は基本的に「吊り合わないこと」（不均衡）を利用することにあります。
また「吊り合い」の「要因」についても、「張力」・「押力」・「弾力」等があり、なおかつそれらが「複合」する場合もあります。
ということで、状況は様々に複雑となりますが、それらの全てについては考察し切れませんので、基本的なパターンについてのみ考察を進めて行きます。
まずは、「張力」と「さお」との関係で、考察を進めていきます。
５ 「水平均衡」について
まず、「さお」の「吊り合い」の一番単純な形態について、下図を見ながら考えてみます。
下図では、支点Ｒから重点Ｐへ、また支点Ｒから重点Ｑへと、それぞれ「ひも」が伸びています。
ここでそのそれぞれの「ひも」の「長さ」は同じだとします。
また、この「さお」は、その中心点をＯ（オー）点とし、中心点Ｏ点から重点Ｐまでの長さをａ、中心点Ｏから重点Ｑまでの長さをｂ、とします。
するとａ＝ｂとなっています。
また、物体Ａの「質量」をＷ１、物体Ｂの「質量」をＷ２とし、Ｗ１＝Ｗ２であるものとします。
そして物体Ａに生じる「引力」をＵ１、物体Ｂに生じる「引力」をＵ２、とします。
すると、Ｗ１＝Ｗ２ですので、Ｕ１＝Ｕ２ となるはずです。
こうすると、物体Ａと物体Ｂは、「吊り合う」はずです。
しかし、それでは一体「何故」「吊り合う」のでしょうか？
これを、解明するために、図４を「ベクトル図」に転換してみます。
(図４)
【文書に図面をうまく貼付できないため、ご面倒ですが、参照図（てこ）をご参照ください。】
次の図が、図４を転換した「ベクトル図」となります。
（図５）
【文書に図面をうまく貼付できないため、ご面倒ですが、参照図（てこ）をご参照ください。】
この「ベクトル図」を見れば明らかなように、「引力」によって、「落下」しようとする物体Ａと物体Ｂを、まず「ひも」ＲＰと、「ひも」ＲＱとが、「張力」によって吊り上げています。
すると物体Ａ及び、物体Ｂには、それぞれに作用する「張力」と「引力」とによって、それぞれ「さお」の中心点Oに向かおうとする「合力」が生じます。
そしてこのそれぞれの「合力」を、まずは「さお」の「押力」が支えます。
しかしここでもし、合力ＰＯが合力ＱＲより「大き」ければ、さおの中心点Ｏは右にずれようとします。
逆に、合力ＱＯが合力ＰＯより「大きい」ければ、さおの中心点Ｏは左にずれよとします。
いずれにしても、この場合には、さおは「水平」にはなりません。
しかし上記の場合は、左右の「合力」は「等しい」結果、さおの中心点Ｏは、右にも左にもずれず、結果、さおは「水平」を保っています。
次に、ここでもし。何らかの理由で合力ＰＯが、さおの中心点Ｏを目指さず、例えばやや「右肩上がり」のベクトルとなったらどうでしょうか。その場合はＰ点に対して、やや「上向き」の力が作用する結果、Ｐ点が「上」に向かおうとするでしょう。すると、この場合にも、さおは「水平」にはなりません。
逆に、もし何らかの理由で合力ＰＯが、さおの中心点を目指さず、やや「右肩下がり」のベクトルとなったらどうでしょうか。この場合は
Ｐ点に対して、やや「下向き」の力が作用する結果、Ｐ点が「下」に向かおうとするでしょう。すると、この場合にも、さおは「水平」にはなりません。
以上、さおと吊り合いの「基本形」について、考察してきました。
この「基本形」においては、前提条件として、Ｗ１＝Ｗ２であり、かつａ＝ｂでした。この場合においては、「さお」」が「水平」に吊り合うことがわかりました。そしてこの「水平」に「吊り合う」状態を「水平均衡」状態と呼ぶこととします。
しかし、この「さお」を「計測さお」として使用する場合、必ずしもＷ１＝Ｗ２であるとも、またａ＝ｂ とも限りません。
そこで、物体Ａが物体Ｂより、「少しだけ質量が多い」場合を考えてみます。
するとＷ１＝Ｗ２＋ΔＷ
となります。
そして、この場合における、「さお」の「吊り合い」について、考察を進めてみます。
６ 「傾斜均衡」について
まず、下の図を見てください。
(図６)
【文書に図面をうまく貼付できないため、ご面倒ですが、参照図（てこ）をご参照ください。】
まず、ここで考察の簡便化のために、この「さお」自体には「質量」が無いものと想定します。
そして、物体Ａが物体Ｂより「やや重い」とすると、物体Ａと物体Ｂとの「水平均衡」状態が破れ、Ｐ点に「下向き」の力が作用し、この結果この場合「さお」は、「反時計回り」に回転しようとします。
そしてこの「回転」とともに、これに応じて「合力」ＰＯにベクトルも「回転」します。
そうするうちに、「合力」ＯＰの矢印のベクトルの方向が、「さお」の方向と「一致」する状態に至ります。
ここで、なお物体Ａが「落下」をしようとすると、「合力」ＰＯのベクトルはさらに「回転」、さおの方向に対して、さらに「右肩上がり」の方向となります。
すなわち、さおの左側部分を、今度は吊り上げる方向に作用します。
このため、今度は「さお」は「時計回り」に回転しようとします。
結果、「合力」ＰＯのベクトルの方向と、「さお」の方向とが「一致」する状態で、さおの振動は「収れん」し、「さお」は「傾斜」の状態で「吊り合い」（均衡）ます。
この状態を、「傾斜均衡」と呼ぶこととします。
さて、ここまで考察を進めてきたところで、いよいよ荷重する「質量」と「支点」からの「距離」とのの関係に、考察を進めます。
７ 荷重する「質量」と、「支点」からの「距離」との関係について
ここで、上記の図をに手を加えて、「質量と距離との関係図」を作成します。
すると、下図のようになります。
（図７）
【文書に図面をうまく貼付できないため、ご面倒ですが、参照図（てこ）をご参照ください。】
ここで、D点、E点、F点をそれぞれ図に付け加えました。
そしてP点からD点までの「距離」を「a’」、D点からO点までの「距離」を「ｄ」としました。すると、図形から明らかなように、Q点からE点までの「距離」も「a’」であり、E点からO点までの「距離」も「ｄ」であることが、分かります。
またQ点からD点までの「距離」を「b’」とすれば、b’＝２✕ｄ＋ａ’ であることが、わかります。
順次考察を進めて行くと、まず物体Aの質量W1で、物体Bの質量がW2です。
ここで、物体に生じる「引力」は、その物体の「質量」に「比例」するとされています。
したがって、W１：W２＝U１：U２ です。
よって、W１÷W２＝U１÷U２ ・・・・③ です。
ここで、図から明らかなように、「引力U１」の成す「線分」は、支点RとD点取が成す「線分RD」に「等しい」ことが分かります。
よって、U１＝RD ・・・④ です。
同様にして、
U２＝RF ・・・⑤ です。
ここでこの図で、特に重要なのは、支点のR点、D点、重点のQ点とで形成される「三角形」です。
そしてこの図から明らかなように、「三角形RDQ」と「三角形FDE」とは「相似」です。
したがって、「線分RD」：「線分FD」の「比」は、「線分DQ」：「線分DE｝の「比」とに「等しく」なります。
したがって、RD÷FD＝DQ÷DE ・・・・⑥ となります。
ここでＦＤ＝ＲＤ－ＲＦ です。
また④式より ＲＤ＝Ｕ１ であり、
ＲＦ＝Ｕ２ です。
そして ＤＱ=ｂ’ であり、
ＤＥ＝ｂ’－ａ’ です。
よって⑥式は、次のようになります。
Ｕ１÷（Ｕ１－Ｕ２）＝ｂ’÷（ｂ’－ａ’） ・・・⑦
⑦式を展開して行くと、
Ｕ１×（ｂ’－ａ’）＝（Ｕ１－Ｕ２）×ｂ’
ｂ’×Ｕ１－ａ’×Ｕ１＝ｂ’×Ｕ１－ｂ’×Ｕ２
－ａ’×Ｕ１＝－ｂ’×Ｕ２
ａ’×Ｕ１＝ｂ’×Ｕ２ ・・・・⑧
ここで③式より、 Ｕ１＝Ｗ１÷Ｗ２×Ｕ２ ・・・・⑨
この⑧式に、⑨式を代入すると
ａ’×（Ｗ１÷Ｗ２×Ｕ２）＝ｂ’×Ｕ２
よって
ａ’×Ｗ１＝ｂ’×Ｗ２ ・・・・⑩
このように、上図のような「傾斜均衡」の状態において、⑩式が成立することが分かりました。
８ 「支点」の位置と「傾斜」について
(図８)
【文書に図面をうまく貼付できないため、ご面倒ですが、参照図（てこ）をご参照ください。】
上の図をご覧下さい。
図が非常に複雑になってきたため、細かい点までは記入しきれず「省略」してあります。
しかし、基本的な流れとして、「支点Ｒ」の位置が次第に下がってくるにつれて、「さお」に「回転」の力を生じ、それにつれて「傾斜」も「急」になってくることが見てとれると思います。
そして、この新たな「支点」の下で、「さお」の「傾斜」の大きさがさが定まりますが、一旦その傾斜の大きさが決まれば、その状況に応じて上記の⑩式が成立することとなります。
ここで支点と中心点Ｏとのい「距離」を「ｃ」とすれば、ｃが小さくなれば、「鋭敏的」となり、ｃが大きくなれば「安定的」となります。
ここから、いよいよ本題へと入って行きます。
９ てこの原理について
さて、ここでｃの値がどんどん「小さく」なって行くとどうなるでしょうか？
そうです。「支点」はついに「さお」の「中」へと入って行きます。
これによって、「ひも」が担っていた「張力」の役割を、今度は「さお」がその「張力」の役割を担うこととなります。
その「イメージ図」は、下図のようになります。
（図９）
【文書に図面をうまく貼付できないため、ご面倒ですが、参照図（てこ）をご参照ください。】
これにより、「ひも」無しで、「さお」単体で、「さお」における「てこの原理」②式また⑩式が成立することが、明らかとなりました。
ここで「ひも」を使った場合と、「さお単体」の場合とを「比較」してみます。
すると「ひも」使用の場合に比較して「さお単体」の場合は、「ｃ」の値が非常に「小さい」。
結果、この「さお単体」の場合は、荷重する「質量」に対して、「非常に鋭敏」に反応するところとなります。
このため、「質量」の「精密」な計量・計測には、非常に役立つこととなります。
同時に、このさお式の場合には、ある程度の範囲であれば、「傾斜」して吊り合います。
いわば多少の「あそび」の部分があります。
このことも、「さお」を計量・計測に使用するに際して、非常に好都合な要素となります。
以上、「さお」における「てこの原理」を用いて、この「さお」を「計測器」として使用できることが分かりました。
しかし、そうはいっても「傾斜」した状況では、「正確」な「計量・計測」は困難です。
したがって、「正確」な「計量・計測」のためには、「水平均衡」の状態で、「さお式計量・計測器」を使用すべきことは言うまでもありません。
この「さお」における「てこの原理」を使用した「はかり」には、「棒はかり」などがあります。
さて、「水平」の問題が出てきたところで、次には「水平均衡」状態における、荷重質量と支点からの距離との関係について、考察を進めます。
１０ 荷重質量と支点から距離との関係について（水平均衡）
(図１０)
【文書に図面をうまく貼付できないため、ご面倒ですが、参照図（てこ）をご参照ください。】
互いに質量の異なる物体Ａと物体Ｂとが、上記の図のように、「水平」状態で「吊り合って」いるとします（水平均衡）。
この図で得に重要なのは、「三角形ＰＤＥ」と「三角形ＰＯＲ」です。
ここで明らかなように、この三角形ＰＤＥと三角形ＰＯＲとは、「相似
です。
したがって、線分ＰＤ：線分ＰＯ＝線分ＤＥ：線分ＯＲ
ゆえに、線分ＰＤ÷線分ＰＯ＝線分ＤＥ÷線分ＯＲ ・・・⑪となります。
ここで、この「さお」は「吊り合って」いるので、ベクトルＰＤとベクトルＱＯとは、互いにその「向き」は「反対」で、その「値」は「同じ」となっています。
したがって、線分ＰＤ＝線分ＱＯ＝ｂ となります。
また、線分ＰＯ＝ａ です。
さらに図から明らかなように、線分ＤＥ＝引力Ｕ１ であり
線分ＯＲ＝引力Ｕ２ です。
したがって、⑪式は次のようになります。
ｂ÷ａ＝引力Ｕ１÷引力Ｕ２ ・・・⑫ となります。
ここで物体に生じる引力の大きさは、その物体の「質量」に比例します。
したがって、引力Ｕ１÷引力Ｕ２＝質量Ｗ１÷質量Ｗ２ したがって⑫式は次のようになります。
ｂ÷ａ＝Ｗ１÷Ｗ２
これを変形して、
ａ×Ｗ１＝ｂ×Ｗ２
となりますが、これは②式と「同じ」です。
ここで支点Ｒから「さお」の中心点Ｏまでの「距離」を「ｃ」とします。
そして、この「ｃ」をどんどん短くしていきます。
すると、この「支点Ｒ」は、「さお」の「中」に入って行きます。
それとともに、「ひも」が担っていた「張力」の役割を、今度は「単体のさお」自体が担うこととなります。
かくして「さお」の「中」に「張力」が生じ、この張力によって、「さお」についての「てこの原理」が成立するところとなります。
以上により、少なくとも「さお」については、「てこの原理」の「本質」が見えてきました。
「てこの原理」とは、結局、「引力」を除けば、全て「物的な力」と「物的な力」との「均衡」であり、「組み合わせ」のことです。
「てこの原理」が、一見不可解なものに見えるのは、「ａ」と「ｂ」との関係だけを見て、肝心の「ｃ」について、考察しないからです。
「てこの原理」の「本質」を解明するためには、「ａ」や「ｂ」だけでなく、「第３項」であり、「媒介項」である「ｃ」についての考察が必要だったのです。
「ｃ」がなければ、そもそも「てこの原理」が成り立ちません。
確かに「観念上」は、「ｃ」なしで、②式により、物体Ａと物体Ｂとが「吊り合う」と考えることができるでしょう。
しかしそれはあくまで「観念上」のことで、実際には「限りなく不可能に近い」ことです。
具体的には、「細い針」を、床に突き刺さすことなしに、針の先端を下にしてその針を「立たせよう」とするのと同じくらい、「限りなく不可能に近い」ことです。
また、よしんば「吊り合った」としても、「水平」になるとは限りません。
以上、「てこの原理」の本質を成すものは、「空中」に生じる「不可解な力」ではなく、「引力」を除けば、「物体中」に働く「物的な力」と「物的な力」との均衡であり、またその組み合わせであることが分かりました。
以上、物体Aと物体Bとが、「水平」に「吊り合う」場合については、その状況とその状況において成立する「てこの原理」について、解明できました。
それでは、物体Aと物体Bとが「吊り合わない」場合につえ、もう少し分析を進めて行きます。
１０ 荷重質量と支点から距離との関係について（水平不均衡）
まず、a＝ｂ である場合において、物体Aと物体Bとの「吊り合い」については、「傾斜均衡」の高において、分析を済ませてきました。
この場合には、荷重する「質量」が相対的に大きい側に、「斜め下方」への「ベクトル」が生じ、この「さお」に「回転力」を与え、「均衡点」に至るまで、回転を続け、その「均衡点」で静止（あるいはその均衡点を中心に「振動」）することが分かりました。
また、a＜＞ｂである場合における、物体A及び物体Bに生じる「引力」と「張力」とが、「さお」を媒介して、互いに真正面から同じ大きさで相対し、その結果、「さお」が「静止」（あるいはその中心Oを軸として「振動」）することが分かりました。
次には、物体Aと物体Bとが「同じ質量」であって、かつa＜＞ｂ の場合での、「水平不均衡」について、考察を進めていきます。
(図１１)
【文書に図面をうまく貼付できないため、ご面倒ですが、参照図（てこ）をご参照ください。】
上の図が、物体Aと物体Bとの「質量」は「同じ」だが、a＜＞ｂ の場合を表しています。
ここでは、 a＞ｂ の場合を想定しています。
すると図で明らかなように、物体Aと物体Bの「質量」は「同じ」であり、従ってそこに生じる「引力」の大きさが「同じ」であるにもかかわらず、 a＞ｂ であるために、物体Aによって生じる「張力」の大きさが、物体Ｂによって生じる「張力」より、「大きく」なっています。
その結果、物体Ａによる「引力」と「張力」との「合力」である「ベクトルＰＤ」の値が、物体Ｂによる「飲料」と「張力」との「合力」である「ベクトルＱＥ」の値より大きくなっています。
ここでベクトルＰＤとベクトルＱＥとは、「水平線上」を、互いに「逆向き」に作用しています。
「この限りにおいては」、このさおに「下向き」のベクトルは生じず、結果、この「さお」は「回転しない」、つまり「水平均衡する」はずです。
しかし、ベクトルＰＤとベクトルＱＥとが、「水平線上」で相対するとしても、図から明らかなように、ベクトルのその「大きさ」が違います。
すなわちベクトルの「値」で見れば、ベクトルＰＤ＞ベクトルＱＥ となっています。
この結果、「さお」は、この図では「右方向」に「押され」ます。
その結果、結局この「さお」は、この「押力」によって、「水平均衡」状態は破れ、「さお」は「回転」をはじめます。
以上のように、物体Aと物体Bとの、「質量」の違いによっても、物体Aと物体Bとの「位置」の違いによっても、「水平均衡」の状態は破れて、「さお」を「回転」を始めますが、その「回転」の「要因」は互いに「異なる」のです。
つまり逆に言えば、「水平均衡」をもたらす条件、すなわち「a×W1＝ｂ×W2」の公式を成立させる「要因」は、「質量」での要因（質量要因）と、「位置」での要因（位置要因）とでは、互いに異なる現象であり、ただその「結果」が「同じ」であるだけのことなのです。
以上により、「さお」における「てこの原理」（さおの原理）の解明は、一応尽くされました。
あとはこの「てこの原理」と、鉛直抗力、重力、重力作用との関係の分析が残されていますが、取りあえずこの分析は「後回し」にして、次には「てこ」（狭義）における「てこ（狭義）の原理」の分析へと進みます。
１１ 「てこ（狭義）の原理」の分析について
以上、「一本の棒」を、「支点」から「吊るす場合」について「てこ（広義）の原理」を「さおの原理」として、解明を行ってきまました。
次には、この「一本の棒」を、「支点」の上に「載せる」場合についての「てこ（狭義）の原理」について、解明を行います。
以下、このページで「てこ」という場合については、「さお」を含みません。
基本的には、「一本の棒」を「支点」に「載せる」場合についてのみ、「てこ」と表現することとします。
ここで「吊るす」か「載せる」か、どちらでも良いではないか、と思われるかもしれませんが、実は「吊るす」と「載せる」とでは「大違い」なのです。
ここに「さお」と「てこ」とを「区分」する「区分の利益」があるのです。
まず、「さお」については、「ｃ」の作用により、半ば自動的に「さおの原理」が働きます。
しかし「てこ」においては、そのままでは、全く「てこの原理」自体が「成立しません」。
少なくとも「計測てこ」については、「てこの原理」が成立しません。「力学てこ」については、別途考察します。
「てこ」において、「てこの原理」が成立しないとは、おかしな話だと思われますが、実際そうなのです。
何故でしょうか？
「力学てこ」においては、「てこ」は重いものを動かしたりするの利用されます、つまり「力学てこ」は基本的に、「力」と「力」との「不均衡」を利用するものです。
これに対し、「計測てこ」は、「力」と「力」との「不均衡」ではなく、基本的に「力」と「力」との「均衡」を利用するものです。
しかしこの「計測てこ」においては、原理的にこの「均衡」そのものが存在しないのです。
より正確にいえば、この「均衡」が限りなく不可能に近い状態、と言えます。
何故ならば、「均衡」に必要な「安定」が存在しないからです。
試しに、支点の上に棒を載せてみます。
するとその棒は、「安定」を失い、一瞬で回転を始めます。
「静止」しているようにみえても、それは「てこの原理」の「吊り合い」によるものではなく、「てこ」の「慣性」によって、一瞬「静止」しているように「見える」だけであり、「てこの原理」とは全く関係がありません。
そこで、この「てこ」に「てこの原理」を成立させるためには、それに先立って、何らかの「安定機構」が必要、ということになります。
１２ 計測てこにおける「安定機構」について
計測てこにおける「安定機構」については、様々なものがあります。
順次それを見て行くこととします。
まず「摩擦」を利用する方法があります。しかしこれでは「子供のおもちゃ」には利用できても、精密な「計測てこ」としては使用できません。
次に、「支点」の「曲面」を利用する方法があります。
つまり、「支点」をあえて「鋭利」とせずに「鈍く」する方法です。
この「支点」の「曲面」を利用する方法はさまざまありますが、「軸受け」を使用する方法もその一つです。「軸受け」は「曲面」を成しているので、この「曲面」をある程度利用できるのです。
この「曲面」を「安定機構」として利用する具体例は、次のようなものです。
まず、単１の乾電池と、３０㎝程度の直線定規とを用意します。
そしてこの乾電池を、両面テープなどを使用して、机に固定します。
そのうえで、この直線定規をこの乾電池の上に載せてみます。
この際、この直線定規の「中心部分」が、乾電池の上に来るように、注意を払います。
するとその直線定規は、ゆらゆらとゆれながらも、左右のどちらにも落ちようとはしません。
「安定」が成立したのです。
この「安定」の原理は次のとおりです。
まずこの直線定規が左に（反時計回りに）傾いたとします。
すると、この乾電池上の「実質的な支点」が、やや左へとずれます。
このことによって、この直線定規の左側部分に「上向き」の力が生じます。
このため、この直線定規は今度は時計回りに回転しようとします。
この回転が行き過ぎると、今度は実質的な支点がやや右にずれます。
その結果、この直線定規の右側部分に今度は「上向き」の力が生じます。
こうしてこの直線定規は、ゆらゆらと揺れながらも一定の安定「動的安定」・「動的均衡」の状態となります。
ここで、「１円玉」がほぼ「１グラム」であることを利用し、この直線定規を「はかり」として使うことができます。この「はかり」を私は「１円玉はかり」と呼んでいますが、この「１円玉」はかりを用いて、「消しゴム」などの「質量」を結構正確に測ることができます。
それはともあれ、このように「支点」における「曲面」を得る方法があります。
しかし、この「曲面」を成す部分はかなり狭い部分に局限されています
したがって、この「曲面」を安定機構として利用することには、一定の「限界」があります。
またこの方法は、「支点の移動」を伴うため、その「測定結果」に一定の「誤差」を生ずることとなります。しかしそうであっても。この「支点」における「曲面」の利用は、「はかり」の「安定」・「均衡」にとって、重要な役割を果たしています。
また「安定」のための別の方法として、一本の棒を、無理無理「くの字」に折り曲げる方法があります。
(図１２)
【文書に図面をうまく貼付できないため、ご面倒ですが、参照図（てこ）をご参照ください。】
こうすれば、「安定」は良くなります。これを「変形てこ」と呼ぶこととします。
そして、この「一本の棒」は、確かに「支点」の上に「載って」います。
その意味では、この「一本の棒」は「さお」ではなく「てこ」ということができます。
しかし、ここに働く「てこの原理」は、むしろ「さおの原理」です。
何故ならばこの場合、「計測さお」における「傾斜均衡」と全く同じ現象が起こっているからです。確かにこの「てこ」には、「ひも」もなく、ひもに吊るされた「さお」もありません。
しかしその「ひも」の役割を、すなわち「張力」を生じる役割を、この「変形てこ」自体が担っているのです。またこの「変形てこ」には、「さお」がありません。しかしこの「さお」の役割を、すなわち「引力」と「張力」の「合力」を「受け止める」役割を、この「変形てこ」の「角」の部分が、つまり支点に接する部分が担っているのです。
この「変形てこ」が「安定」するのは、「重心」の位置を「支点」より「下」に置くからです。
このように、「重心」の位置を、「支点」の「下」に配置するというタイプの「安定機構」があります。
このような「変形てこ」を利用するものに、「振り子式はかり」があります。ヨーロッパのクリスマスマーケットなどで見かけます。
次には、この「安定」を得るために、「ロバーバル機構」という、一種の安定機構を使用する方法があります。実は、この「ロバーバル機構」は、多くの「はかり」において、その中心的役割を担っています。しかしこのページだけで、ロバーバル機構について説明をし、なおかつその「本質」について解明することには無理があります。そのため、このロバーバル機構については、別途ページを設けてその解明を行うこととします。
最後にポピュラーな方法として、「安定機構」として「おもり」を利用する方法があります。
この「おもり」を利用する方法について、次に考察を進めて行きます。
１３ 「おもり」を利用した「安定機構」について
「おもり」を利用した「計測てこ」の代表が、「てんびん」です。
「てんびん」では、その「指針」が、「おもり」の役割を兼ねています。
次の図が、「てんびん」の概念図です。
分析の簡便化のために、Ｏ点から各Ｐ点、Ｑ点＜Ｒ点への「距離」はすべて「同じ」としています。ここではその「距離」を「ａ」と表現しています。
また物体Ａの「質量」をＷ１、物体Ｂの「質量」をＷ２、「おもり」の「質量」をＷ３、とします。
（図１３）
【文書に図面をうまく貼付できないため、ご面倒ですが、参照図（てこ）をご参照ください。】
さて、「てんびん」は極めて「鋭敏」です。
左右のバランスが少し崩れただけで、すぐに「指針」が反応します。
そして、もしＰ点側の質量がやや大きければ、この天秤は「反時計回り」に回転しようとします。すると、「指針」に付いた「おもり」も「反時計回り」に回転・上昇します。
そしてこの「おもり」が、てんびんの「基準点」から離れれば離れるほど、今度は逆に、この「おもり」に生じる「時計回り」への「回転力」が大きくなります。
その結果、この「おもり」は揺れながらも、一定の「位置」へと収れんしようとします。ここでこの「収れん」する「位置」を「収れん点」と呼ぶこととします。
するとこの「収れん点」を元に、測定者は荷重した物体の「質量」を計算することができます。
さて、ここで物体Aと物体Bとを、それぞれＰ点とＱ点とに載せるとします。
そしてまず、物体Ａの質量と物体Ｂとの「質量」は等しく、Ｗ１＝Ｗ２ であるものします。
すると、この「てんびん」は「水平均衡」するはずです。
そうしておいて、次に微小質量ΔＷをＰ点に加えると」、このてんびんは反時計回りに「回転」を始め、そうするうちに「指針」の「おもり」と「吊り合う」はずです。
するとこれは、先ほどの「変形てこ」の場合と同じこととなります。
すなわち「てんびん」においても、「てこの原理」（実際にはむしろ「さおの原理」）が、働くこととなります。
さて以上のことにより、物体Ｂの「質量」W２があらかじめ分かっているならば、「収れん点」を読み取ることにより、物体Ａの質量Ｗ１を、計算できることとなります。
以上、「計測てこ」においては、「てこの原理」といいっても、基本的には、結局「さおの原理」を用いていることとなります。
１４ 「力学てこ」における「てこの原理」について
「力学てこ」は、「てこ」を重いものを動かすのに使用する場合の「てこ」を指すものとします。
そしてここでは３種類の「てこ」のうち、基本となる「第１種てこ」について、考察を進めます。
この「力学てこ」の分析に際しては、まず「力学てこ」の「均衡」について考察を進め、そののちに「力学てこ」の「不均衡」について、考察を進めていくこととします。
このため、まず前掲の「図２」を再掲します。
（図２）
【文書に図面をうまく貼付できないため、ご面倒ですが、参照図（てこ）をご参照ください。】
この図を眺めていてまず分かることは、この「てこ」が、「支点」の部分で左右に分かれようとしていることです。
このてこの「左側部分」は左下方に落ちようとし、このてこの「右側部分」は右下方に落ちようとしています。
すると、次に分かることは、この支点部分に「左右への分裂」を避ける「何らかの力」が働いていることがわかります。
まずは、左右への分裂を避けるために、「張力」が働いているはずです。
しかし、いったん「張力」が働くと、その「てこ」が曲がろうとするために、この「てこ」の下側にはこの「曲がり」を避ける「何らかの力」が働くはずです。
したがって、この「てこ」には、同時に、「押力」も働くはずです。
この状況を、拡大し極端にすると次のような図となります。
（図１４）
【文書に図面をうまく貼付できないため、ご面倒ですが、参照図（てこ）をご参照ください。】
これは、結局「計測てこ」と「同じ結果」となります。
したがって、ここにはいわゆる「てこの原理」が成立します。
ただ「計測てこ」と「異なる点」は、その「使用方法」です。
「計測てこ」は「安定」・「均衡」しなければ、意味を成しませんでした。
しかし、「力学てこ」はその必要がないのです。むしろ「不均衡」な状態の方が望ましいのです。
このように、「計測てこ」と「力学てこ」とは、その使用方法が違います。
その結果、「力学てこ」には、「計測てこ」ではあまり問題にならなかった点が、大きな問題となります。
「計測てこ」では、物体Ａと物体Ｂとの「吊り合い」とその関係についてのみ考察すれば、基本的にはそれで足りました。「計測てこ」における「てこの原理（さおの原理）」についても、その「吊り合い」の観点からのみの考察で足りました。
しかし、「力学てこ」については、解明すべき「新たな問題」が生じます。
すなわち「力学てこ」は、「何故」「大き力」を生じることができるのかという問題です。
この問題は、実は「重力」の問題と深く結びついています。
したがって、「力学てこ」の「本質」をさらに分析するためには、ここに作用している「鉛直抗力」、「重力」、「重力作用」について、分析を進めて行かなければなりません。
１５ 「力学てこ」について
ここで「具体的」」に見てみます。
物体Ａの「質量」を２㎏とし、物体Ｂの「質量」を１㎏とします。
また ａを１ｍ、ｂを２ｍ とします。これは吊り合います。
次に物体Ａの「質量」３㎏とし、物体Ｂの「質量」を１㎏とします。
また ａを１ｍ、ｂを３ｍ とします。するとこれも吊り合います。
さらに、物体Ａの「質量」を４㎏とし、物体Ｂの「質量」を１㎏とします。
また ａを１ｍ、bを４ｍ とします。するとこれもまた吊り合います。
そうこうするうちに「奇妙」なことに気が付きます。
物体Ｂの「質量」は、相変わらず１㎏のままです。
そして、ａは単に「距離」が変わっただけです。
にもかかわらず、「距離」が変わっただけにもかかわらず、物体Ａの荷重点Ｐは、「１ｋｇ」、「２㎏」、「３㎏」、「４㎏」・・・と、「異なる大きさ」の「質量」を支えることができるのです。
とすれば、いったい「何が」この物体Ａの荷重点Ｐを支えているのか、「どんな力」がこの荷重点Ｐに生じているのか、が問題となります。
この問題を解決するために、またいったん「計測さお」の分析へと戻ります。
ただし、今回はこの「計測さお」を、「計測さお」としてではなく、「力学さお」として考察します。すなわち単なる「吊り合い」だけを問題とするのではなく、その「背後」にあるこの「吊り合い」全体を「支える力」の分析へと進みます。
１６ 「力学さお」について
ここで「図１０」を変換して、次のような図を作成します。
そしてこの図を「鉛直抗力解析図」と呼ぶこととします。
（図１４）
【文書に図面をうまく貼付できないため、ご面倒ですが、参照図（てこ）をご参照ください。】
この「鉛直抗力解析図」でまず分かることは、まず物体Ａを引っ張っている「張力」が、「水平方向」と「垂直方向」とに「分解」できる、ということです。
これは、物体Ｂについても同様です。
したがって、それぞれの中に、この物体Ａと物体Ｂとを、「支える力」が隠され、含まれていたのです。
したがって、次にはこの「張力」の分析を行うこととなります。
しかし、このままでは「張力」の分析が、複雑となります。
したがって、以前「張力」の分析した張力の「性質」を利用して、Ｐ点及びＱ点に作用している「張力」を、「鉛直抗力解析図」に示してあるように、「支点Ｒ」の位置まで「移動」します。
すると物体Ａに生じる「張力」は、今度は「支点Ｒ」の右側に表示され、物体Ｂに生じる「張力」は、「支点Ｒ」の右側に表示されるところとなります。
ここでようやく、この二つの「張力ベクトル」の「合成」を行うことできることとなります。
この「張力ベクトル」の合成を見て分かることは、まずび「張力ベクトル」の「水平成分」は互いに「打ち消し合って」います。
他方、この「張力ベクトル」の「鉛直成分」は、互いに「合体」して、「一本」の「垂直ベクトル」となっています。
ここで「垂直ベクトル」を「Ｆ」とし、物体Ａに生じる「張力」の「垂直成分」をＦ１とし、物体Ｂに生じる「張力」の「鉛直成分」をＦ２とすれば、次のことが分かります。
すなわちこの「鉛直抗力解析図」の上部部分がが、「平行四辺形」を成していることにより、
Ｆ＝Ｆ１＋Ｆ２ ・・・・ ⑬
となることが分かります。
ところで、この「Ｆ」とは何でしょうか？
それは、物体Ａと物体Ｂとを、その「根底」から「支える力」です。
すなわち、「引力」によって「落下」しようとする物体Ａと物体Ｂとを、「共に」空中に佐々得ようとする「物的な力」です。
すなわちこの「Ｆ」は「鉛直抗力」なのです。
これにより「鉛直抗力」が「分解」され得ることが、改めて明らかとなりました。
ここで先の②式を再掲します。
ａ×Ｗ１＝ｂ×Ｗ２ ・・・・ ②
ここで 引力Ｕ１：引力Ｕ２＝質量Ｗ１：質量Ｗ２ です。
他方、「鉛直抗力」は、この「引力」と「逆方向」に「同じ大きさ」で働きますから、
鉛直抗力（－Ｆ１）：鉛直抗力（－Ｆ２）＝引力Ｕ１：引力Ｕ２ となります。
これを整理しますと、
鉛直抗力（－Ｆ１）÷鉛直抗力（－Ｆ２）＝引力Ｕ１÷引力Ｕ２＝質量Ｗ１÷質量Ｗ２ となります。
よって、 鉛直抗力（－Ｆ１）÷鉛直抗力（－Ｆ２）＝質量Ｗ１÷質量Ｗ２ となります。
よって、 鉛直抗力Ｆ１÷鉛直抗力Ｆ２＝質量Ｗ１÷質量Ｗ２ となります。
これを変形すると
質量Ｗ２＝質量Ｗ１÷鉛直抗力Ｆ１×鉛直抗力Ｆ２ となります。
これを ②式に代入すると
ａ×Ｗ１＝ｂ×Ｗ１÷Ｆ１×Ｆ２
よって
ａ×Ｆ１＝ｂ×Ｆ２ ・・・・⑭
となります。
ここで⑬式を再掲し、改めに⑭式と並べてみます。すると次のようになります。
Ｆ＝Ｆ１＋Ｆ２ ・・・・ ⑬
ａ×Ｆ１＝ｂ×Ｆ２ ・・・・ ⑭
実は、この⑬式と⑭式とが「セット」で、「一つ」の「てこの原理」の「本質」を成しているのです。
「てこの原理」（ここでは「さお」と「てこ」（狭義）の「双方」を含めた「てこの原理」（広義））の「本質」とは何か。それは次のように定式化されます。
「てこの原理」の「本質」とは、「鉛直抗力」の「分配」であり、その「分配」が⑬式に従って行われること、と定式化することができます。
通常「てこの原理」というと、②式のみが取り上げられます。
確かに「実務上」また「実用上」はこれで十分です。
しかし「てこの原理」の「本質論」となると、そうはいきません。
⑬式を考察してこそ、「てこの原理」の「根底」に触れた、ということができます。
「てこの原理」の「本質」が、「鉛直抗力の分配」にあることが解明されたので、これによる「重力」及び「重力作用」については、その解明が非常に容易となりました。
「鉛直抗力」Ｆが、上記の法則に従って、物体ＡにＦ１、物体ＢにＦ２の「延長抗力」が供給される結果、これに応じて、物体Ａ及び物体Ｂに「重力」が生じるのです。
そして、この「重力」による「重力作用」が、「ひも」あるいは「棒」を通じて、「支点」へと伝達され、その「支点」において「統合」され、この支点に「重力作用」による「重み」が生じるのです。「
したがって、「重力作用」の観点からみると、この「鉛直抗力」の「分配」は、「重力作用」の「統合」として表れてきます。
以上の考察を終えた後で、いよいよ先ほどの「力学てこ」についての考察に戻ります。
１７ 「力学てこ」と「鉛直抗力」について
「力学てこ」の概念図を図示すると、次のようになります。
（図１５）
【文書に図面をうまく貼付できないため、ご面倒ですが、参照図（てこ）をご参照ください。】
ここで、「支点Ｏ」から「鉛直抗力Ｆ」が流入しますが、さきほどの「てこの原理」により、左右の物体Ａに鉛直抗力Ｆ１、物体Ｂに鉛直抗力Ｆ２が「分配」されます・
それにより、物体Ａに「重力Ｗ１」が、物体Ｂに｛重力Ｗ２｝が生じます。
そのそれぞれの「重力」は、「力学てこ」の左右をとおって、「重力作用」として、「支点Ｒ」に伝達されます。
その「支点Ｒ」では、それらの「重力作用」が「一つ」に「統合」されます。
結果「支点Ｒ」には、その「重力作用」の統合の結果、「支点Ｒ」一点に「重み」が生じます。
以上について、具体例に即して考察します。
ここで物体Ａの質量が２㎏、物体Ｂの質量が１㎏であり、ａが１ｍ、ｂが２ｍとします。
すると、この質量合計２㎏＋１㎏＝３㎏ の質量を支えるのに必要な「鉛直抗力」は、３㎏重です。そしてこの３㎏重の「鉛直抗力」が左右に「分配」されて、物体Ａには2㎏重、物体Ｂには１㎏重の「鉛直抗力」が届きます。
すると、物体Ａには、２㎏重の「重力」が生じ、物体Ｂには１㎏重の「重力」が生じます。
この２㎏重と１㎏重の「重力作用」が、「支点Ｒ」に到達し、そこで「統合」され、結果「支点Ｒ」に、３㎏の「重力作用」が生じます。
すなわち、「支点Ｒ」に３㎏重の「重み」が生じます。
したがって、「力学てこ」自体の重さを除けば、その「支点Ｒ」でのその「重み」を「はかり」で計測すれば、この「３㎏重」に対応して「３㎏」と表示されます。
以上、Ｐ点に３㎏、Ｑ点に１㎏を荷重すれば、支点Ｒでの「はかり」の値は４㎏、
Ｐ点に４㎏、Ｑ点に１㎏を荷重すれば、支点Ｒでの「はかり」の値は５㎏、
以下同じ、となります。
要するに、「力学てこ」における「てこの原理」とは、この例では、「Ｐ点」にかかる荷重を「支点Ｒ」に「移す」という作用のことです。
そしてその「移し方」が、②式に沿って行われる、ということです。
これがために「力学てこ」は、「重いもの」を「容易」に動かすことができるようになるのです。
要するに「力学てこ」とは、「てこの原理」をお応用して、本来「人間の手」等によって支える「重み」（重力作用）を、「支点Ｒ」が、結局は「大地」が、支えるその「支え方」に他なりません。
以上をもちまして、「張力」を主体とした「てこの原理」についての、「本質的な解明」は終了します。
後、補足的に「弾力」における「てこの原理」について、少しばかり解明を行います。
１８ 「弾力」と「てこの原理」について
これまで、「張力」を中心に、「押力」を補助的に、考察を進めてきましたが、実は「弾力」についても、「張力」同様、「てこの原理」が、一応成立します。
しかし、「張力」と違い、「弾力」は「ひずみ」を前提とするものです。
したがって、ここにおける「てこの原理」は「近似的」なものとなります。
「板ばね」などの「弾力」の大きさは、そのひずみの大きさに一定「比例」します。
そして、その関係を応用すれば、「てこの原理」における②式と同様な関係が導かれますが、これはあくまで「近似的」なものであり、「張力」におけるような精密なものではありません。
したがって、この「弾力均衡」を、「計測てこ」に応用することは適切ではありません。
しかし、「力学てこ」の目的は、「小さな力」で「大きな力」を生じることにあるのですから、少々の違いは問題ではありません。
実際、「力学てこ」においては、「張力」、「押力」、「弾力」が「一体」となって作用していると言えます。
以上をもちまして、「てこの原理」についての「本質的な解明」は終了いたします。