作用・反作用の法則（運動の第３法則）について
（１）作用・反作用の法則（運動の第３法則）について
ニュ－トンの運動の第３法則は、「作用・反作用の法則」とも呼ばれています。
いわく、「２物体が互いに力を及ぼし合うとき、それらの力は向きが反対で大きさが等しい」(ウィキペディア)。
一般には、物体Ｂが物体Ａに作用(力)と及ぼしたとき、それと同じ大きさで反対方向の作用(反作用・反作用力)が物体Ｂ自身に働く、と理解されています。
いわば、「押せば押し返される」、という関係です。
これは現代物理学の基礎中の基礎ですが、非常に「分かりにくい」ものでもあります。
何故分かりにくいのでしょうか?
様々な原因があります。
一つには、この「作用・反作用の法則」を「あらゆる」物理現象に適用することにはそもそも無理があることです。
物象世界は「力学」的関係によってのみ成り立つものではないでしょう。
例えば「化学反応」を「作用・反作用の法則」によって説明することは出来ません。
つまり「作用・反作用の法則」には、「適用限界」があるのです。
しかし一般にはこの「適用限界」について語られることなく、「作用・反作用の法則」が教えられるので、「作用・反作用」の意味内容が全く不明瞭となってしまうのです。
したがって「作用・反作用の法則」は「力学的関係」において成立する、とまず成立要件を明確にすべきだと考えます。
しかしまた、「力学的関係」が成立すれば、「全て」「作用・反作用の法則」が成り立つのか、と考えれば、そう単純でもありません。
世界は「立体的」です。特定の方向にばかり作用するというものでもありません。
例えば「粘土」を押さえつけると、粘土はつぶれ「変形」します。つまり、「粘土」に対して、「横方向」に力が作用します。
このように、「力学的関係」においても、教科書どおり、「作用・反作用の法則」が、働くものでもありません。
加えて、「作用・反作用の法則」を分析すると、「作用・反作用の法則」そのものも種々の「タイプ」があり、「一様」ではありません。
以上のことが合い混ざりあって、「作用・反作用の法則」は非常に分かりづらいものとなっています。
しかし、「作用・反作用の法則」が「分かりづらい」根本的要因は何といっても、「作用(力)」を加えた「反対方向」に「反作用(力)」が働く、という点にあります。
通常の感覚では、「力」を加えた方向に「力」が「作用」するはずです。それが、「逆」に「反対方向」に「作用」(反作用)する、この点が非常に「分かりづらい」のです。
しかしそうであっても一定の力学的関係においては、「作用・反作用の法則」が成立することは厳然たる事実です。
すなわち、「作用・反作用の法則」は「一定の力学的関係」においては.厳然と存在し、現代力学の「根幹」を成す、ということができます。
（２）作用・反作用の法則と万有引力の法則について
かくして、「一定の力学的関係」において、「作用・反作用の法則」が成り立ちますが、このことを前提として、次には「作用・反作用の法則」の「タイプ」について分析を進めます。
まず「作用・反作用の法則」を考察するにおいて、「どのような力」が、「作用・反作用」に関わっているかが問題となります。
「慣性力」を分析する際に考察した「力」は、まず「空間的力」である「引力」と「慣性」すなわち「慣性基力」との関係でした。
そしてこの関係からは「慣性力」が生じないことが明らかとなりました。
次に分析したのが、「張力」・「押力」(弾力)等の「物体的力」と「慣性」(慣性基力)との関係でこの関係から「慣性力」が生じることが明らかとなりました。
したがって、「作用・反作用の法則」を分析するに際しても、「空間引力」と、「物体的力」である「張力」等とを、「区別」して考察したく思います。
さて、まず「空間的力」である「引力」については、「万有引力の法則」から、自ずと「作用・反作用の法則」（的な法則）が導かれます。
何故ならば、二つの物体ＡとＢとが、互いに「引力」を及ぼし合うとき、それらの力は「向きが反対で大きさが等しいからです。
すなわち「万有引力は、「作用・反作用の法則」の「定義」である「２物体が互いに力を及ぼし合うとき、それらの力は向きが反対で大きさが等しい」という命題を満たしています。
ただし、この「万有引力」における「作用・反作用の法則」は、これから分析する「物体的力」における「作用・反作用」の法則とは、一定様相が異なります。
したがって、この意味では、「万有引力」における「作用・反作用」は、本来の意味からは、ずれているかも知れません。
しかし、実際上は、「万有引力」においても「作用・反作用の法則」が働くと考えると何かと便利です。
したがってここでは、「万有引力」におけ「作用・反作用」と「物体的力」における「作用・反作用」」とが、一定「異なっている」ことを前提として、「万有引力」における「作用・反作用の法則」（的な法則）を認めるものとします。
（３）物体的力と作用・反作用の法則について
以上のように、「万有引力」における「作用・反作用の法則」（的な法則）
を分析することは、容易でした。
困難なのは、「物体的力」における「作用・反作用の法則」の分析です。
「引力」においては、「万有引力の法則」そのものから「作用・反作用の法則」（的な法則）が導かれます。加えて、「引力」は「引」力であって、「引かれる」方向にしか作用しません。
すなわち「引力」によって「押し返される」ことはないのです。
しかし、「物体的力」における「作用・反作用」においては、物体は作用した力とは「反対方向」に「押し返される」のです。
これは「何故か?」ということが、「物体的力」における「作用・反作用」の根本問題となります。
（４）運動の第２法則と運動の第３法則との関係について
「慣性」・「慣性力」の世界は広大ですが、「作用・反作用」の世界も広大で、その全てについて考察することは出来ません。
したがってここでは、単純な形態の「作用・反作用」について、まず分析し、 そこから「作用・反作用の法則」の「本質」を分析したいと思います。
そしてその「本質」の分析の後に、「作用・反作用の法則」の幾つかの「現象形態」について、分析を行ないたいと思います。
さて、「作用・反作用の法則」の重要な内容として「押し返される」という現象があります。
「押し返される」という現象というと、まず「ばね」が思い起こされます。したがって「作用・反作用の法則」を考察する前に、まずは「ばね」について、考察を行ないたいと思います。
① ばねを手で押します。すなわちばねに「押す力」を加えます。すると「ぱね」から「力」を感じます。すなわち「反作用」を感じます。
② 「押す力」と「ばねの力」が「均衡」します。ここでも「ばねの力」を感じます。すなわち「反作用」を感じます。
③ 手で「は押す力」を緩めます。すると「ばね」が「反発」してきます。ここでも「ばねの力」を感じます。すなわち「反作用」を感じます。
以上３とおりの場合いついて、それぞれ「反作用」を感じます。
しかし、そのそれぞれについて、「作用・反作用の法則」の「現れ方」が異なるのです
すなわち手やばねの「運動方向」が異なるのです。
したがって、「作用・反作用の法則」といっても、「３つの形態」、あるいは「３つの段階」があることが分かります。
以上のことを踏まえて、「作用・反作用の法則」の最も「単純」な場合、すなわち球体同士の「単衝突」について、分析を行ないます。
ここに物体Ａと物体Ｂとがあるとします。
そして物体Ａの「質量」をｍ、物体Ｂの「質量」をｍ′とします。
そしてｍとｍ′の「値」が「同じ」だとします。
そして、物体Ａが、等速度ｖで物体Ｂに接近し、衝突するものとします。
① 物体Ａが、物体Ｂに接近していきます。
② 物体Ｂが物体Ａに接触します。
③ 物体Ａが物体Ｂを押して行きます。
④ 物体Ａの「速度」が、遅く成るとともに、物体Ａの速度が速く成っていきます。
⑤ 物体Ａと物体Ｂの「速度」が「等しく」成りつつあります。
以上の②から⑤の間に、物体Ａと物体Ｂとの間に「力」が作用しています。そしてどうやら「作用・反作用の法則」も働いているようです。この場合、物体同士が押し合いすなわち「力」を加え合い、そして両者の「速度」が「同じ」になって行くのですから。
確かに、これも「作用・反作用」の1局面とは言えるでしょう。
しかし、これが「作用・反作用」の「全て」ではありません。
そもそもこれは、「作用・反作用の法則」を持ち出さなくても、次のように「運動の第２法則」から説明できます。
運動の第２法則より
ｆ ＝ｍａ＝ｍ×ｖ÷ｔ ・・・① です。ここでｍは物体の「質量」、ａは「加速度」を表します。
したがってｆの力をｔ秒間作用させると、物体の速度はｖになります。
ここで同じ力をｔ秒間ｍ＋ｍ′の物体に作用させると、
ｆ＝(ｍ＋ｍ′)×ａ′＝(ｍ＋ｍ′)×ｖ′÷ｔ …② となります。
式①より、ｍ×ｖ÷ｔ＝ｆ ・・・③ です。
ここで②式と③式とより、
ｍ×ｖ÷ｔ＝ｆ＝(ｍ＋ｍ′)×ｖ′÷ｔ
∴ｍ×ｖ＝(ｍ＋ｍ′)×ｖ′÷ｖ ・・・④ となります。
したがって
ｖ′÷ｖ＝ｍ÷(ｍ＋ｍ′)となります。
∴ｖ′＝ｍ÷(ｍ＋ｍ′)×ｖ ・・・⑤ となります。
したがって、ｆの力で速度がｖに成った物体Ａが物体Ｂを動かして、「共に」同じ速度で運動するに到った場合、その「共通速度」ｖ′は、ｖ′＝ｖ×ｍ÷(ｍ＋ｍ′)となると考えられます。
逆に、物体Ａと物体Ｂと「共通速度」が「同じ」に成った場合物体Ａと物体Ｂとに働く力は「同じ」であると言えます。
何故ならば、次のとおりです。
等速度ｖの物体Ａが静止している物体Ａと接触し、ｔ秒の間に、自らは減速しながら物体Ｂを加速し、物体Ａと物体Ｂとの「共通速度」がｖ′となったとし、その間に物体Ａが受ける力をｆ、その時の加速度をαとし、物体 Ｂが受ける力をｆ′、その時の加速度をβとすれば
ｆ＝ｍα＝ｍ×(ｖ′－ｖ)÷ｔ
∴ｆｔ＝ｍｖ′－ｍｖ ・・・⑥
ここで⑤式より
ｖ′＝ｍ÷(ｍ＋ｍ′)×ｖ
∴ｖ＝(ｍ＋ｍ′)÷ｍ×ｖ′・・・⑦
⑥式と⑦式とより
ｆｔ＝ｍｖ′－ｍｖ
＝ｍｖ′－ｍ×(ｍ＋ｍ′)÷ｍ×ｖ′
＝ｍｖ′－(ｍ＋ｍ′)×ｖ′
＝ｍｖ′－ｍｖ′－ｍ′ｖ′
∴ ｆｔ ＝－ｍ′ｖ′ ・・・⑧
考察の前提条件より
ｆ′＝ｍ′β＝ｍ′×ｖ′÷ｔ
∴ ｍ′ｖ′＝ｆ′ｔ ・・・⑨
⑧式と⑨式とより
ｆｔ＝－ｍ′ｖ′＝－ｆ′ｔ
∴ｆ＝－ｆ′・・・⑩
したがって、物体Ａが物体Ｂを押している間に作用する力は、互いに正反対であり、かつ、同じ大きさであると言えます。
すなわち「作用・反作用の法則」が成立します。
以上のようにここまでは、運動の第２法則から、「作用・反作用の法則」が導かれます。
そして実際上、「作用・反作用の法則」が、ここまでで完結する場合もあります。
物体Ａと物体Ｂとが衝突し、その後「一体となって」運動する場合などが、それに当たります。
（５）運動の第３法則の運動の第２法則からの分離について
しかし、ここで終わってしまっては、「作用・反作用の法則」は、「運動の第３法則」ではなく、「運動の第２法則」に包含されてしまいます。
わざわざ運動の「第３」法則を考える必要も無くなります。
何かが欠けています。
何が欠けているのでしょうか?
押せば「押し返される」力が欠けています。
一般に、「作用・反作用の法則」は、単に、物体Ａが物体Ｂを「押した」場合、単に自らが「減速」するのに止まらず、「押し返される」ことまでをも含みます。
この「押し返される」現象は、「運動の第２法則」からは説明出来ません。
ここに「作用・反作用の法則」が、運動の「第３法則」である意味があるものと考えます。
ここでやや複雑ですが、物体Ａと物体Ｂとの「弾性衝突」について分析を行って行きます。
ここで考察の便宜のために物体Ａと物体Ｂとの「間」に、「ばねＣ」があるものとします。
そしてまた考察の便宜のために、この「ばねＣ」には、「質量」がないものとします。
そうした上で、物体Ａが静止している物体Ｂに、ばねＣを介して、衝突する場合を考えます。
物体Ａの質量をｍ、物体Ｂの質量をｍ′とします。
物体Ａの衝突前の速度をｖＡ１とし、物体Ｂの速度をｖＢ1とします。したがってｖＢ１＝０です。
物体Ａと物体Ｂとが、ばねＣを介して接触し、物体ＡがぱねＣを介して物体Ｂを押して行きます。
物体ＡがばねＣを押し、ばねＣが物体Ｂを押して行きます。
すると「二重の作用」が生じます。
物体Ａの速度を持った「慣性基力」と、静止し続けようとする物体Ｂの「慣性基力との間に挟まれて、ばねＣは「縮んで」いきます。
しかし.縮んだばねＣは、縮んだが故に「反発力」も有します。
したがってばねＣは、その「反発力」でもって物体Ｂを「押そう」とします。
その結果、ばねＣに押されて物体Ｂは「加速」して行きます。
これをまとめると、物体Ａが、ばねＣを介して、物体Ｂに衝突する時、物体Ａは「減速」し、ばねＣは「縮み」、物体Ｂは「加速」します。
この結果、物体Ａと物体Ｂとの「速度」が「一致」する時点に到達します。
すなわち、物体Ａと、ばねＣと物体Ｂの「速度」が、「共通速度」となる時点に到達します。
この「共通速度」に到達するや否や、もはや物体Ａは、これ以上、ばねＣをも物体Ｂをも「押す」ことができなくなります。
すなわち、物体Ａと物体Ｂとの関係に限れば、物体Ａと物体Ｂとの間に作用する力は、「ゼロ」となります。
しかし、この時ばねＣはすでに「縮宿」しています。
すなわち「力」が、「反発力」が蓄えられています。
かくしてこの時、ばねＣの「反発力」が作動し、今度は逆に、物体Ａと物体Ｂとの双方を「押し返して」行きます。
ここに、物体Ａ・ＢとばねＣの関係が「逆転」します。
この時、「作用・反作用の法則」が「作動」するものと「想定」されます。
「作用・反作用の法則」によれば、
「２物体が互いに力を及ぼし合うとき、それらの力は向きが反対で大きさが等しい」ところとなります。
この場合、物体Ａと物体Ｂとが「直接」に力を及ぼし合っているのではありません。
むしろ、物体Ａと物体Ｂとが「直接には」、力を及ぼし合わなくなった結果、ばねＣの反発力が作動するに到ったものです。
しかしそうであっても、今やばねＣの「反発力」が作動しました。
この結果、このばねＣの「反発力」は、物体Ａと物体Ｂとの「双方」に及んでいます。
結果、「ばねＣを介して」、物体Ａと物体Ｂとは「互いに力を及ぼし合って」いきます。
そしてその力は当然ながら、「向きが反対」です。
ここでこの「力」は「ばねＣ」から生じています。
このばねの「力」は、ばねの「縮み」に起因しています。
このばねが「均質」であれば、ばねが「収縮」から「反発」に転じる時に生じる力は、ばねの両端において「等しい」はずです。
かくして.「ばねＣを介して」、物体Ａと物体Ｂとが互いに力を及ぼし合うとき、その大きさは「等しい」こととなります。
このように物体Ａと物体Ｂとの間に、「ばねＣ」があるものと想定すると、「作用・反作用」の法則がうまく説明できます。
以上により、「作用・反作用の法則」には、大きく「２段階」あることが分かります。
「第1段階」は、物体ＡがばねＣを介して物体Ｂに衝突し、結果、物体Ａが「減速」し、ばわＣが「縮み」、物体Ｂが「加速」する段階です。
その「第1段階」の「終点」が、「第２段階」の「始点」となります。
そして、この「終点」・「始点」において、物体Ａと物体Ｂとの速度は「同じ」になり「共通速度」に達し、ばわＣの「縮み」は「最大」となります。
ここまでの段階においても「作用・反作用の法則」は成立します。
しかし、この段階における物体Ａと物体Ｂとの間の「作用・反作用」は、「運動の第２法則」からでも導くことができます。
したがってこの段階においては、「作用・反作用の法則」ではあっても、運動の「第３」法則とまでは言えません。
この段階における「作用・反作用の法則」は、運動の「第２法則」に包含されています。
しかし「作用・反作用」の「第２段階」では、この運動の「第２」法則からは説明ができません。
「作用・反作用の法則」の第２段階では、何らかの「反発力」が作用しています。
この「反発力」は、運動の「第２」法則からは生じません。
このため物体Ａと物体Ｂとの間に「ばねＣ」を想定し、この「ばねＣ」を
想定することにより、「作用・反作用の法則」の「第２段階」をうまく説明することができたのです。
これにより、「作用・反作用の法則」の「第２段階」では、「作用・反作用の法則」は、運動の「第２」法則から分離・独立し、運動の「第３」法則と成ったのです。
（６）現象形態における作用・反作用の法則の分析について
以上、「作用・反作用」の「第1段階」と「第２段階」について、考察を行ないましたが、同じ「作用・反作用の法則」であっても、「第1段階」と「第２段階」とでは、その性状がかなり異なります。
したがって分析上の混乱を避けるために、「作用・反作用の法則」の「第1段階」を「作用・反作用I型」、「第２段階」を単に「作用・反作用」あるいは「作用・反作用Ⅱ型」と呼ぶこととします。
これにより「作用・反作用の法則」は、「作用・反作用I型」と、「作用・反作用Ⅱ型」を含む「広義」の「作用・反作用の法則」と、「作用・反作用Ⅱ型」にのみ関わる「狭義」の「作用・反作用の法則」とがあることとなります。
さてここで、「狭義」の「作用・反作用の法則」すなわち「作用・反作用の法則Ⅱ型」を考察するに当たり、「ばねＣ」を想定してきました。
しかし、「現実には」、物体Ａと物体Ｂとの「外側」に「ばねＣ」は有りません。
そうであるならば、この「ばねＣ」に相当する「作用」・「力」は、「どこ」から生じるのかが、問題となります。
そしてこの問題は取りも直さず、「作用・反作用の法則」の「本質」とは何かという問題となります。
ここで「作用・反作用の法則」の「本質」についての分析へと移行していくことになるのですが、まずその前に、この「作用・反作用」の「現象形態」について、今少し考察を行ないたいと思います。
ここで再び、球体Ａと球体Ｂとの「弾性衝突」に戻ります。
今度は今少し分析析を精密にして行きます。
このためやや「複雑」とはなりますが、以下のとおりです。
ここでは、鋼球と鋼球同士の衝突や、ビリヤ－ドの球同士の衝突、あるいは野球のバットとボ－ルの衝突やゴルフのクラブヘツドとボ－ルの衝突のような場合、つまり単体と単体同士の「単衝突」について考察をすることとします。
さて、物体Ａの質量をｍとし、物体Ｂの質量をｍ′とします。
物体Ａが、静止している物体Ｂに衝突するものとします。
「衝突前」の物体Ａの速度をｖＡ1とし、物体Ｂの速度をｖＢ1とします。
したがって、ｖＡ1＝０です。
「衝突後」の物体Ａと物体Ｂの「共通速度」をそれぞれｖＡ２と、ｖＢ２とします。
したがって、ｖＡ２＝ｖＢ２です。
次に、「衝突」によって、物体Ａが失った速度をｖＡ３とくし、物体Ｂが得た速度をｖＢ３とします。
すると、ｖＡ３＝ｖＡ1－ｖＡ２で、ｖＢ３＝ｖＢ1＋ｖＢ２ です。
次に、「衝突」による「作用・反作用」によって生じる物体Ａの速度をｖＡ４とし、物体Ｂの速度をｖＢ４とします。
最後に「衝突後」に、物体Ａと物体Ｂとが「等速運動」に復帰した時点における、物体Ａの速度をｖＡ５とし、物体Ｂの速度をｖＢ５とします。
したがって
ｖＡ５＝ｖＡ２＋ｖＡ４ ・・・①
ｖＢ５＝ｖＢ２＋ｖＢ４ ・・・② です。
ここで先に計算した際に、速度ｖの物体Ａが静止している物体Ｂ、に接触し、共に「同じ」速度で運動するに到った場合における「共通速度」ｖ′は、
ｖ′＝ｍ÷(ｍ＋ｍ′)×ｖ でした。
したがってここでは、ｖＡ1＝ｖ ｖＢ１＝０
またｖ′＝ｖＡ２＝ｖＢ２ ですので
ｖＡ２＝ｖＢ２＝ｍ ÷(ｍ＋ｍ′)×ｖＡ１ となります。
整理すると ｖＡ２＝ｖＢ２ であって、刈る
ｖＡ２＝ｍ ÷(ｍ＋ｍ′)×ｖＡ１ ・・・③
ｖＢ２＝ｍ ÷(ｍ＋ｍ′)×ｖＡ１ ・・・④
ここで一旦、この時点での物体Ａ及び物体Ｂの「運動量」を計算してみます。
すると
物体Ａの「運動量」は、ｍ×ｖＡ２＝ｍ×ｍ÷(ｍ＋ｍ′)x×ｖＡ1
物体Ｂの「運動量」は、ｍ′×ｖＢ２＝ｍ′×ｍ÷(ｍ＋ｍ′)×ｖＡ１
故に物体Ａと物体Ｂの「運動量」を合計すると
ｍ×ｖＡ２＋ｍ′×ｖＢ２＝ｍ×(ｍ＋ｍ′)÷(ｍ＋ｍ′)×ｖＡ1
＝ｍ×ｖＡ1となります。
他方、当初の「運動量」もｖＡ１×ｍ＋ｖＢl×ｍ′＝ｖＡ１×ｍ＋０＝ｖＡ１×ｍでしたので、物体Ａと物体Ｂとは、その「共通速度」において、当初の「運動量」ｍ×ｖＡ１を「保存」しているところとなります。
さて、ここで物体Ａについて、当初の速度がｖＡ１でしたが、物体Ａが、ばねＣを介して、物体Ｂを加速し、物体Ａ自身は減速し、その速度がｖＡ２となりました。
とすると、ｖＡ１の速度のうちｖＡ３＝ｖＡ1－ｖＡ２分の速度に相応する力が、ばねＣに蓄積されたこととなります。
一般に、物体が速度ｖでばねに正面衝突した場合1÷２×ｍ×ｖ２の運動エネルギ－が、一旦ばねの一種の位置エネルギ－として蓄積され、その後正反対の方向に同一の運動エネルギ－で跳ね返されます。結果、速度ｖで入射した物体は、速度－ｖで反射されることとなります。
ここではｖＡ３に相当する速度がばねＣに蓄積され、その後反射されたのですから、その反射速度は－ｖＡ３となります。
したがってｖＡ４ ＝－ｖＡ３＝－(ｖＡ１－ｖＡ２)＝－ｖＡ１＋ｖＡ２となります。
ここで③式より、ｖＡ２＝ｍ÷(ｍ＋ｍ′)×ｖＡ1でした。
ゆえに
ｖＡ４＝－ｖＡ１＋ｍ÷(ｍ＋ｍ′)×ｖＡ1
＝－ｖＡ１（１－ｍ÷（ｍ＋ｍ′））
＝－ｖＡ１（ｍ＋ｍ′－ｍ）÷（ｍ＋ｍ′）
＝－ｖＡ１×ｍ′÷(ｍ＋ｍ′)
＝ｍ′÷（ｍ＋ｍ′）×（－ｖＡ１） ・・・⑤
他方、ここでこの時の「反射時間」をｔとし、この「反射」の際において物体Ａに生じる力をｆとし、その時の「加速度」をαとします。
またこの「反射」の際において物体Ｂに生じる力をｆ′とし、その時の「加速度」をβとします。
すると、この「反射時間」は、物体Ａも物体Ｂも、「同じ」ｔです。
したがって
ｆ＝ｍα＝ｍ×ｖＡ４÷ｔ であり、
ｆ′＝ｍ′β＝ｍ′×ｖＢ４÷ｔ です。
ここで「作用・反作用の法則」により、
ｆ＝－ｆ′です。
よって
ｍ×ｖＡ４＝－ｍ′×ｖＢ４ です。
よって、
ｖＢ４＝－ｍ÷ｍ′×ｖＡ４ です。
ここで⑤式より
ｖＡ４＝ｍ′÷（ｍ＋ｍ′）×（－ｖＡ１） です。
よって
ｖＢ４＝（－ｍ÷ｍ′）×（ｍ′÷(ｍ＋ｍ′)×（－ｖＡ１））
＝（－ｍ）÷（ｍ＋ｍ′）×（－ｖＡ１）
＝ｍ÷(ｍ＋ｍ′)×ｖＡ１ ・・・⑥
ここで物体Ａと物体Ｂとの「運動量」について求めてみるものとします。
すると物体Ａの運動量は
ｍ×ｖＡ４＝ｍ×(－ｍ′÷(ｍ＋ｍ′)×ｖＡ１) ・・・⑦ です。
他方物体Ｂの運動量は
ｍ′ｖＢ４＝ｍ′×ｍ÷(ｍ＋ｍ′)×ｖＡ1 ・・・⑧ です。
ここで物体Ａと物体Ｂの双方の運動量を合計すると
⑦＋⑧及び⑤式と⑥式とにより
運動量＝ｍ×ｖＡ４＋ｍ′×ｖＢ４
＝ｍ×（－ｖＡ１×ｍ′÷(ｍ＋ｍ′) ）
＋ｍ′×（ｍ÷(ｍ＋ｍ′)×ｖＡ１）
＝（（ｍ×（－ｍ′））＋（ｍ′×ｍ）×ｖＡ１÷（ｍ＋ｍ′）
＝(－ｍｍ′＋ｍｍ′)÷(ｍ＋ｍ′)×ｖＡ１
＝０÷（ｍ＋ｍ′）×ｖＡ１
＝０ となります。
すなわち、相方の「運動量」が「相殺」されていることが分かります。
次に、物体Ａについて、その最終速度を計算します
物体Ａについて、その「最終速度」ｖＡ５は、前述のとおり
ｖＡ５＝ｖＡ２＋ｖＡ４ ・・・①（再掲） です。
ここで前述のとおり
ｖＡ２＝ｍ ÷(ｍ＋ｍ′)×ｖＡ１ ・・・③（再掲）
また ｖＡ４＝－ｖＡ１×ｍ′÷(ｍ＋ｍ′) ・・・⑤（再掲）
ですので、
ｖＡ５＝ｖＡ２＋ｖＡ４
＝ｍ÷（ｍ＋ｍ′）×ｖＡ１－ｍ′÷（ｍ＋ｍ′）×ｖＡ１
＝（ｍ－ｍ′）÷（ｍ＋ｍ′）×ｖＡ１ ・・・⑨
次に物体Ｂについて、その「最終速度」ｖＢ５は
物体Ｂについて、その「最終速度」ｖＢ５は、前述のとおり
Ｂ５＝ｖＢ２＋ｖＢ４ ・・・②（再掲） です。
ここで前述のとおり
ｖＢ２＝ｍ ÷(ｍ＋ｍ′)×ｖＡ１ ・・・④（再掲）
また
ｖＢ４＝ｍ÷(ｍ＋ｍ′)×ｖＡ１ ・・・⑥（再掲）
ですので、
ｖＢ５＝ｖＢ２＋ｖＢ４
＝ｍ÷（ｍ＋ｍ′）×ｖＡ１＋ｍ÷（ｍ＋ｍ′）×ｖＡ１
＝２ｍ÷（ｍ＋ｍ′）×ｖＡ１ ・・・⑩ となります。
ここで物体Ａ及び物体Ｂの「運動量」を計算してみます。
ここで、物体Ａの「運動量」は、式⑨より
物体Ａの運動量＝ｍ×ｖＡ５
＝ｍ×(ｍ－ｍ′)÷(ｍ＋ｍ′)×ｖＡ１
＝(ｍｍ－ｍｍ′)÷(ｍ＋ｍ′)×ｖＡ１ ・・・⑪
また物体Ｂの「運動量」は、式⑩より
物体Ｂの運動量＝ｍ′×ｖＢ５
＝ｍ×２ｍ÷(ｍ＋ｍ′)×ｖＡ1 ・・・⑫ です。
ゆえに物体Ａと物体Ｂの相方の「運動量」と足すと、
総運動量
＝物体Ａの運動量＋物体Ｂの運動量
＝ｍ×ｖＡ５＋ｍ′×ｖＢ５
＝(ｍｍ－ｍｍ′)÷(ｍ＋ｍ′)×ｖＡ1＋ｍ′×２ｍ÷(ｍ＋ｍ′)×ｖＡ１
＝(ｍｍ－ｍｍ′＋２ｍｍ′)÷(ｍ＋ｍ′)×ｖＡ１
＝(ｍｍ＋ｍｍ′)÷(ｍ＋ｍ′)×ｖＡ１
＝ｍ(ｍ＋ｍ′)÷(ｍ＋ｍ′)×ｖＡ１
＝ｍ×ｖＡ１
したがって「衝突前」の「運動量」ｍ×ｖＡ１と「衝突後」の「運動量」とは「一致」し、「衝突」の「前・後」において、「運動量」は「保存」されていることが分かります。
（７）作用と反作用の法則における公式とその応用について
これまでの考察により、ビリヤ－ドの球同士の衝突のような場合における、「作用・反作用」の公式は次のようになります。
ｖＡ５＝（ｍ－ｍ′）÷（ｍ＋ｍ′）×ｖＡ１ ・・・⑨（再掲）
ｖＢ５＝２ｍ÷(ｍ＋ｍ′)×ｖＡ１ ・・・⑩（再掲）
これをビリヤ－ドの球に当てはめてみます。
ビリヤ－ドの球同士は、「同じ」質量なのでｍ＝ｍ′です。
ここでｖ＝ 1、ｍ＝ｍ′＝1とします。
すると
ｖＡ５＝(l－1)÷(1＋1)×1＝０
ｖＢ５＝２×1÷(1＋1)×1＝1
となります。
すなわちビリヤ－ドの球同士が「衝突」すると、速度1で進行している球Ａが、球Ｂに「衝突」すると、球Ａは「停止」し、球Ｂは速度1で運動を始めることが分かります。
これにより、「鋼球」同士の衝突や、ビリヤ－ドの球同士の衝突については、合理的に説明ができます。
次に、野球のバットやゴルフのクラブが、「弾力」のあるボ－ルを高速で打撃するような場合を考えてみます。
試しにクラブヘツドの質量を６、ボ－ルの質量を1、クラブの速度を1として、上記の公式に当てはめてみます。
すると
ｖＡ５＝(６－1)÷(６＋1)×1＝５÷７＝０.７
ｖＢ５＝２×６÷(６＋1)×1＝1２÷７＝1.７
すなわちゴルフのクラブヘツドの速度は1から０.７に「減速」します。
この時、この「減速」が一定の「衝撃」として、「手」に伝わります。
他方、ゴルフボ－ルは、クラブヘツドの1.７倍の速度で飛んで行きます。
ただし、これは「完全弾性衝突」した場合の数値であって、実際上は1.５倍程度に収まるものと考えられます。
次に、野球の「バント」のように、静止しているバットにボ－ルが、当たる場合を考えます。
ボ－ルの質量を1、バットの質量を６、ボ－ルの速度を1として、先の公式に当てはめてみます。
すると
ｖＡ５＝(1－６)÷(1＋６)×1＝－０.７
ｖＢ５＝２×1×(1＋６)＝０.３
となります。
すなわち、ピッチャ－が投げたボ－ルはバットで「跳ね返り」ますが、その速度はボ－ル初速の０.７倍に「減速」しており、結果、ピッチャ－の手元に届く前に地面に落下し、「ゴロ」となります。
他方、バットの速度は、０から０.３に「加速」し、バッタ－は、この「加速」を「衝撃」として、「手」に感じます。
以上により、運動する物体が静止している物体に対して、「完全弾性」体が「単衝突」する場合における「作用・反作用」ついての考察を終えます
次には、「静止」している物体同士における「作用・反作用」について考察を行ないます。
これは、水面上のボ－トＡから手で他のボ－トＢを押すような場合に当たります。
ただし、ここでは、ボ－トと身体の質量に対して、「手」の質量が充分に小さいものとします。またここでも、ボ－トＡとボ－トＢとの間に「ばね」Ｃが存在するものと仮定します。
ここでボ－トＡから、バネＣを介して、ボ－トＢを「ゆっくりと」押すとします。
するとバネＣは、「縮み」つつ、ボ－トＡとボ－トＢの「双方」に対して、「押し返し」ます。
この結果、このばねの力を受けて、今度はボ－トＡとＢとが、それぞれ「反対方向」に動き始めます。
その結果ボ－トＡとボ－トＢとの「距離」が離れて行きます。
この結果、「手」がもはやボ－トＢを押すことができない段階に到達し、ここで「作用・反作用」も終了します。
ここで「手」が、「ゆっくりと」ボ－トＢを押すと、「ばね」Ｃが充分に「縮む」前に、ボ－トＡとＢとが「運動」を始めます。
その結果、ボ－トＡとＢとを「押す」力も「弱く」なり、ボ－トＡとＢとの運動「速度」は「ゆっくり」となります。
他方、「手」が「速く」ボ－トＢを押すと、「ばね」Ｃが充分に「縮み」、その後ボ－トＡとＢとが、「運動」を始めます。
その結果、ボ－トＡとＢとを「押す」力も「強く」なり、ボ－トＡとＢの運動「速度」は「速く」なります。
しかしいずれにしても、「ばね」Ｃの両端に区別はありません。
したがって「ばねＣ」Ｃの両端に働く力の大きさは「等しく」、その作用方向はそれぞれ反対方向となるはずです。
したがって、ボ－トＡ側に働く力をｆとすれば、ボ－トＢ側に働く力は－ｆとなるはずです。
ここでボ－トＡの質量を乗員を含めてｍとし、ボ－トＢの質量をｍ′とします。
またボ－トＡに生じる加速度をα、ボ－トＢに生じる加速度をβとします
この加速度が作用する時間をｔとし、ｔ秒後のボ－トＡの速度をｖＡ、ボ－トＢの速度をｖＢとします。
するとｆ＝ｍα＝ｖＡ÷ｔ
－ｆ ＝ｍ′β÷ｔ
したがって、ｍα＝ｍ×ｖＡ÷ｔ＝－ｍ′β÷ｔ＝－ｍ′×ｖＢ÷ｔ
したがって、ｍ×ｖＡ＝－ｍ′×ｖＢ
したがって、ｖＢ＝－ｍ÷ｍ′×ｖＡとなります。
ここでボ－トＡの質量ｍを２、ボ－トＢの質量ｍ′を1、ボ－トＡの速度ｖＡを1として上記の式に代入すると
ｖＢ＝－２÷1×1＝－２ となります。
すなわち、「ばね」Ｃによってボ－トＡが速度1で跳ね返される場合、ボ－トＢは速度２で進んでいくこととなります。
（８）作用・反作用の法則と原子構造について
以上で、「作用・反作用の法則」における現象論的考察を終えます。
ここで明らかになったことは、最も単純な状態においてすら、作用・反作用の法則の現象形態は実に多種多様であるということです。
これらの現象形態は、一見矛盾し合っているようにさえ見えます。
物体Ａと物体Ｂとに「力」が及ぶ結果、ＡとＢとがくっついて運動する場合もあれば、同じ方向に進む場合も有り、互いに反対方向に進む場合もあり、一方が「静止」する場合すらあります。
表面上、これらの互い相矛盾し合う諸現象にもかかわらず、その諸現象の内部において、一定の力学的範囲において「作用・反作用の法則」が貫徹していることが明らかとなりました。
それではこの多様な諸現象の内部で働いている「作用・反作用法則」の「本質」は何なのでしょうか?
ということで、次には「作用・反作用の法則」と「本質」について、分析・考察を進めて行きたく思います。
これまでの考察において、物体Ａと物体Ｂとの間に「ばね」Ｃの存在を「仮定」すると、「作用・反作用の法則」を合理的に説明・理解することができました。
しかし現実には、一般に物体Ａと物体Ｂとの間に「ばね」Ｃは「見えません」。
したがって、そもそも物体Ａと物体Ｂとの間に「ばね」Ｃを「仮定」する事自体が、論理の飛躍であり間違っているのではと思われることでしょう。
しかし、この問題は物体ＡとＢとを「マクロ」に見ているだけでは解決ができません。
すなわち、物体の「内部構造」にまで、考察を深めなくてはなりません。
一般に物体は、原子・分子から成り立っています。
そして、原子は電子及び原子核から成り立っています。
そして、その原子核はまた陽子と中性子から成り立っています。
ここに「ヒント」があります。
物体Ａと物体Ｂとの間に「力」が働くとは、一体どういう状況でしょうか?
「作用・反作用」が成りたつ為には、まずは「押す」(あるいは引っ張る)という運動が必要です。
例えば、転がる球が別の球を「押す」ように。あるいは「静止」したボ－トから他のボ－トを「押す」ように。
ここで「押す」とは何でしょうか?
それはまずもって物体と物体との「距離」を「縮める」ことです。
物体Ａも物体Ｂもともに「原子」から構成されています。
ここで、この物体Ａと物体Ｂとの「距離」が「縮まれ」ば、一体どうなるでしょうか?
物体Ａと物体Ｂとを構成する各原子の外殻に、まず「電子」が存在します。
ここで物体Ａ・Ｂ間の「距離」が「縮まれ」ば、まず「電子」の「軌道」が圧迫されます。
そしてこの「圧迫」によって、電子軌道が「歪み」ます。
しかし、電子は自己の通常の軌道を「回復」しようとします。
そして、この電子軌道の「回復」作用は、電子軌道による「反発」となり、物体を「押し戻そ」うとします。
すなわちこの電子と電子軌道とが「ばね」の役割を果たすものと考えられます。
一般的に、「物体的力」における「力」の伝搬は、まずはこの「電子軌道の歪み」によるものと考えられます。
ここで、問題解決としたいところですが、実はこれだけでは、「作用・反作用の法則」について、説明し切ることができません。
確かに「軽微」な力の作用だけであれば、「電子軌道の歪み」だけで、事足りると考えられます。
しかし、物体と他の物体との「衝突」などという激烈な事象の場合、電子軌道の歪み「だけ」で、「作用.反作用の法則」を説明することは困難です。
何故ならば、電子の質量に対して原子核の質量が大き過ぎるのです。
物体同士の衝突では、互いに互いを弾き飛ばし合ったりします。
すなわち、それぞれの物体の「原子核」が激しく運動します。
この時、この原子核に比べて「圧倒的に」質量の小さい電子が、原子核を弾き飛ばすと考えるにはやはり無理があります。
必ず、何か別の要素があるはずです。 その「答え」は「原子核」そのものにあるはずです。 原子核は、陽子あるいは陽子及び中性子とから成り立っています。すなわち、あらゆる「原子核」には「陽子」があります。陽子もまた電子と同じく「電荷」を持っています。ただし「電子」の電荷がマイナスなのに比し、「陽子」の電荷はプラスとなっています。
ここに「ヒント」があります。
原子Ａと原子Ｂとの衝突について考えてみます。原子Ａと原子Ｂとが「衝突」します。原子同士が押し合い、まずは電子軌道が歪みます。これは、原子核にとっては、電子のバリアが一部突破されたことを意味します。この電子のバリアが互いに突発されることにより、原子Ａと原子Ｂの「原子核」同士が、互いに「接近」します。しかし、どの原子核にも「全て」陽子が存在します。陽子にはプラスの電荷があります。つまり、この「衝突」により、原子核Ａの陽子と原子核Ｂの陽子とが「接近」します。
これにより陽子と陽子との間に「ク－ロンの法則」が作動します。原子Ａ内の陽子と原子Ｂとの間に「電気的斥力」が作動します。 すなわち、ここでは「電子」に替わって、あるいは電子に加えて、陽子間の「電気的斥力」が「ばね」の役割を果たしています。
ちなみにク－ロンの公式によれば、この電気的斥力は、原子核Ａ内の陽子Ａと、原子核Ｂ内の陽子Ｂとの電荷の積に比例し、その陽子間の「距離」の自乗に反比例しています。これは「万有引力の法則」と酷似しています。
したがって、この「作用・反作用の法則」の分析に先立って、まずは「万有引力の法則」を分析したことは、あながち「的はずれ」ではなかったこととなります。
この「万有引力の法則」と「ク－ロンの法則」とは酷似しています。
しかし、違いもあります。もちろん、「質量」と「電荷」とは違っています。
また万有「引力」と電気的「斥力」という点でも違っています。しかし、何といっても「万有引力」と「ク－ロン力」とでは、その「強さ」が決定的に違います
万有引力は強いように見えて、ク－ロン力に比べれば比較にならないほど「弱い」力なのです。万有引力は、天文的大きさの物体にとっては大きな作用を有します。しかし、原子核レベルの大きさでは、「万有引力」の影響は無いのに等しいのです。他方、このク－ロン力は、原子核レベルの小さな範囲内でも絶大な力を発輝します。
すなわち陽子間の「僅かな」距離の変化が、大きなク－ロン力を生み出します。
これにより、「衝撃」に際して、「瞬時」に陽子同士は互いを弾き飛ばし合うことができます。
（９）作用・反作用の法則の本質とクーロン力について
以上により、「作用・反作用の法則」の「本質」は「ク－ロンの法則」に基づく「クーロン力」であり、そこには「電子」のみならず「陽子」が深く関わっていることが明らかとなりました。
この「作用・反作用の法則」の「本質」の解明により、この「作用・反作用の法則」の「適用範囲」も明らかとなりました。
すなわち、特殊な例外を除いて、「作用・反作用の法則」は、「ク－ロンの法則」が作動する範囲でのみ、適用できるということです。
すなわち、「電荷」を持たない物質、例えばニュ－トリノや中性子は、一般的に「作用・反作用の法則」の適用範囲外だということです。
このため、ニュ－トリノや中性子は原子核と何らの作用も反作用も生ぜず、原子核内を透過します。
ただしニュ－トリノや中性子が原子核自体に衝突した場合は別です。しかしこの「原子核衝突」は、一般の「作用・反作用」とは異なる別の事象です。そこに働く力は「量子力学」的な力であって、ニュ－トン力学における「作用・反作用」とは別の事象と考えられます。
したがって一般的に、「作用・反作用の法則」の「本質」は「ク－ロン力」にあり、その「適用範囲」は、この「ク－ロン力」が作動する範囲内である、ということになります。
（１０）作用・反作用の法則と張力・押力について
さて、「作用・反作用の法則」の「本質」が解明できたので、その応用へと移ることができます。
ここに「棒」があります。
この「棒」の「質量」を度外視すれば、したがってこの「棒」に関する「慣性」、「引力」、「鉛直抗力」、「重力慣性力」を度外視すれば、このひもの「両端」を押さえた際に、この「棒」の「両端」にかかる力は、その「大きさ」は「等しく」、その「向き」は互いに「逆」となります。
何故ならば、「棒」とは分子の連鎖、したがって原子の連鎖に他ならないからです。
したがって、少なくともこの「棒」が一定程度均質であるならば、この「棒」の「内部」に作用する力は「均一」となるはずです。
何故ならば、この「棒」を構成する各原子の各電子同士は、また各原子の陽子同士は、互いに「押し合って」いるからです。
この「押し合い」を通じて、すなわち各原子の「作用・反作用」を通じて、原子間相互の力は「ならされて」行きます。すなわち「均等化」されて行きます。
この結果、「棒」のどの部分を取つても、「同じ」力が作用していることとなります。
したがって、「棒」の「両端」にも「同じ」大きさの力が作用し、その方向は互いに「逆」方向ということになります。これは「金太郎飴」と似ています。金太郎飴の両瑞が「同じ」なのは、金太郎飴内部の各部分が「同じ」だからです。
しかし更に良く見てみると、金太郎飴の手前側の顔が右向きならば、その反対側の顔は左向き、すなわち「逆」となっています。これは顔という「一つ」の絵に、表と裏の「両面」があるからです。「作用・反作用」もこれと同様です。「作用・反作用」は、これ自体「一つ」の物理現象なのです。これを「一方」から見ると「作用」となり、「他方」の側が「反作用」として認識されることとなります。
これは「ばね」においても同様です。したがって「ばね」の両端には、「同じ」大きさの力が、互いに「逆」方向に働くこととなります。またこれは「ひも」においても同様です。「ひも」の両端を引っ張ります。するとその「ひも」の内部の各原子の電子が引っ張られます。電子間の相互作用により、「ひも」内部の力は均等化しようとします。
また、電子が一方に引っ張られると、結果としてその反対側の電子バリアは薄くなります。その結果、その原子内の陽子は隣接する原子内の陽子に接近します。この陽子同士の接近により電気的斥力が生じ、陽子同士は押し戻されます。
このような電子同士や陽子同士の電気的斥力や、また陽子と電子間の電気的引力の絶えまない相互作用によって、棒と同様、「ひも」においてもその内部における力は平準化し、その「ひも」のどの部分を取っても「同じ」力が作用することとなります。この結果、「ひも」の「両端」においても、「同じ」大きさの力が、互いに「逆」方向に働くこととなります。
「ひも」におけるこの「張力の均等化」は、簡単な実験で確認することができます。「輪ゴム」を幾つか繋いで引っ張ってみます。すると各「輪ゴム」の「伸び」が均一であることが確認できます。この「張力の均等化」により、「ひも」は、Ａ点に生じた力をＢ点に伝達することができます。
おもりを「ひも」のＡ点につないで、「ひも」のＢ点を手で持ちます。するとＡ点で生じた「重力慣性力」が、「ひも」を伝わり、「手」に伝わります。手に「直接」おもりを持っているのではないにもかかわらず、手はその「おもり」の「重さ」を感じます。このように「ひも」は、また「張力」は、力を「伝達」することができます
これは「棒」であっても基本的には同じです。そして、その根本にあるのは、電子及び陽子の相互間に作用する電気的斥力、あるいは電気的引力、両者を合わせて「ク－ロン力」だと言うことができます。
以上によりニュ－トンの「運動の第３法則」である「作用・反作用」の法則」についての考察を終え、次の課題へと進むこととします。